今やってる数学の比例、反比例がわからん。
ハァ？
あんた、何のために塾行きよるんね？
違いの意味がわからんやった。
バカでもわかる説明してよ。
ハァ〜？
ほんっとにもう！

 

本当に困った子。

中1で習う比例・反比例がまったくわかっていませんでした。

でも・・・じゃあ、親が説明しようと思っても、「どう説明したら？」と思っちゃいますよね。

わかりやすく！

というのが、意外と難しい。

そこで、今回は比例・反比例の意味について

  • 比例
  • 反比例
  • 例題

を、うちのような子でも理解できるように、わかりやすい説明をしたいと思います。

結論

  • 比例…xが2倍・3倍になると、yも2倍・3倍（式は y=ax、グラフは原点を通る直線）
  • 反比例…xが2倍・3倍になると、yは1/2倍・1/3倍。xとyをかけた値がいつも同じ（式は y=a/x、グラフは双曲線）

比例とは？

簡単にいうと、比例とは・・・

      • 比例＝比が等しい
      • y=ax（aは0でない定数）
      • グラフは原点を通る直線
ちょっとわかりやすく説明するわね。

比例というのは、片方が2倍・3倍となる時、もう片方も2倍・3倍と同じようになること。

つまり、比（2つの数の関係）が等しいことを比例といいます。

この比例の関係を式で表すと、y＝ax（aは0でない定数）です。

 

グラフで見ると・・・。

縦軸をy、横軸をxとし、いつも原点（0）を通る直線グラフとなります。

これは、xが2倍になるとyも2倍、3倍になると両方3倍というように、変化量が同じように推移する関係であるということがわかる比例グラフです。

例を出して説明すると・・・。

1個10円の飴を1個買うと10円、2個買うと20円、3個買うと30円。

飴の個数と値段は、同じように増えていっているため、比例関係であるということがわかります。

この飴の数をx、値段をyとすると・・・

yという値段は、飴1つ分の値段と買う飴の個数を掛けると、合計金額が出るということはわかりますよね？

つまり、それを式で表すと・・・y=10xという式が成り立つのです。

こんな感じね。

この図とイラスト見ると、わかりやすいわ。
aが1個の値段というわけやね。

このaのことを比例定数というんですが、これは比例するときの比の値のことで、今回の場合は1個10円だったため、比例定数は10というわけです。

反比例とは？

こちらもズバッというと、反比例は

  • xとyの積（かけ算の答え）が一定
  • y=a/x（aは0でない定数）
  • グラフは双曲線

 

ということ。

反比例は、比例のように同じように増えていくのではなく、片方が2倍・3倍となっても、もう一方は1/2倍・1/3倍となる関係です。xとyをかけた値がいつも同じ（x×y=a）になるのが、反比例の特徴です。

この反比例の関係を式で表すと、y=a/xとなります。

グラフで見ると、こんな感じです。

このような曲線が2つできるのが、反比例です。

比例とちがって、原点は通らず双曲線となります。

こちらも、例を出して説明すると・・・。

12個ある飴を、同じ数ずつ友達に分けるとします。

この時、分ける人数と一人がもらえる飴の数は、反比例するんです。

分ける人数をx、一人がもらえる飴の数をyとすると・・・

式で表した場合、y=12/xとなります。

わかりやすくいうと、12個ある飴を2人で分ける場合、12÷2としますよね？

すると、一人あたりの飴の数が6個とわかります。

これを、一人当たりのもらえる飴の数（y）＝12個ある飴を分ける人数（x）で割ったものというのがわかりますよね？

つまり、xは等分する数です。

もっと見やすく図で説明すると・・・

図を見ると、理解できた。

比例・反比例はグラフを見ても一目瞭然なので、比例していますか？反比例していますか？などという問いには・・・

原点を通ったグラフであれば比例、双曲線であれば反比例であるということがわかりましたね。

また、表を見ても同じように比例して増えていってると・・・比例している。

その逆で、xとyをかけた値がいつも同じ数になれば反比例。（aがマイナスのときは、xが増えるとyも増えることがあるので、「増える・減る」ではなく、かけ算で確かめましょう）

ポイントを押さえると簡単です。

 

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比例・反比例の例題を解いてみよう！

比例問題、反比例問題と分けて、2問ずつ考えてみましょう。

比例問題1

時速3kmでx時間歩いた時の進んだ道のりykm。

（1）xとyの関係を式に表しなさい。

道のりは、速さ×時間なので・・・y=3×xだから・・・

答え：y=3x

（2）比例定数を答えなさい。

比例定数は、飴一個の時を思い出したら、ピンと来たぞ！

答え：3

比例問題2

（1）①のグラフは、点（1,4）を通っている。
①のグラフについて、xとyの関係を式に表しなさい。

これは、もう点（1,4）と書いてあるから超簡単。

答え：y=4x

（2）②、③のグラフについて、それぞれxとyの関係を式に表しなさい。

②と③は、先ほどの①とは向きが逆だから、-がつくというのはわかるわね。

②の答え：y=-2x

③の答え：y=-3/5x

反比例問題1

（1）xとyの関係を式に表しなさい。

反比例難しくない？
先ほどの、反比例の式を思い出すとわかるわ。
y=a/xに、x=-3、y=16を当てはめるとわかるわね。

16=a/(-3)

a=16×(-3)=-48だから・・・

答え：y=-48/x

（2）ア、イに当てはまる数を求めなさい。

-3×16＝-48、12×-4＝-48、したがって-6×アも、イ×-12も-48になるわけで・・・

アの答え：8

イの答え：4

反比例問題2

反比例の関係y=8/xについて

（1）xの値に対応するyの値を求めて、下の表を完成させなさい。

これはy=8/xというのを頭に置いて考えてね。

反比例の意味のとこで説明したように、y=a/xつまり・・・x×y=aとなるわけで、aが8だとわかっているから・・・

答え：

（2）（1）で作った表の、対応するxとyの値の組を座標とする点を、下の図にとりなさい。

 

これは、先ほどの表を見て、座標とする点を打っていったら、xが1の時yは8なわけで・・・
表を見て打った点を、最後に結べばいいわけやね。

答え：

よくある疑問（Q&A）

Q. 「yはxに比例する」と「xが増えるとyも増える」は同じ？

A. 同じではありません。比例は y=ax で表せる関係のことで、aがマイナスなら、xが増えるとyは減ります。「2倍・3倍になると、もう一方も2倍・3倍になるか」「式が y=ax の形か」で判断しましょう。

Q. 比例・反比例は何年生で習う？

A. 小学6年生で比例と反比例の基本（表やグラフ）を学び、中学1年生でマイナスの数もふくめて、y=ax、y=a/x の式として学びます。

 

こちらの覚え方記事もオススメですよ。

 

最後に

ポイントをまとめると・・・

比例は、

  • 比例＝比が等しい
  • y=ax（aは0でない定数）
  • グラフは原点を通る直線

反比例は、

  • xとyの積が一定（x×y=a）
  • y=a/x（aは0でない定数）
  • グラフは双曲線

 

いかがでしたでしょうか？

基本を覚えると、あとは簡単。

どんな問題が出ても、意味で説明した部分に当てはめて考えればいいので楽勝です。